01. Brute Force 算法

1. Brute Force 算法介绍

Brute Force 算法：简称为 BF 算法。中文意思是暴力匹配算法，也可以叫做朴素匹配算法。
BF 算法思想：对于给定文本串 $T$ 与模式串 $p$ ，从文本串的第一个字符开始与模式串 $p$ 的第一个字符进行比较，如果相等，则继续逐个比较后续字符，否则从文本串 $T$ 的第二个字符起重新和模式串 $p$ 进行比较。依次类推，直到模式串 $p$ 中每个字符依次与文本串 $T$ 的一个连续子串相等，则模式匹配成功。否则模式匹配失败。

2. Brute Force 算法步骤

对于给定的文本串 $T$ 与模式串 $p$ ，求出文本串 $T$ 的长度为 $n$ ，模式串 $p$ 的长度为 $m$ 。
同时遍历文本串 $T$ 和模式串 $p$ ，先将 $T [0]$ 与 $p [0]$ 进行比较。
1. 如果相等，则继续比较 $T [1]$ 和 $p [1]$ 。以此类推，一直到模式串 $p$ 的末尾 $p [m - 1]$ 为止。
2. 如果不相等，则将文本串 $T$ 移动到上次匹配开始位置的下一个字符位置，模式串 $p$ 则回退到开始位置，再依次进行比较。
当遍历完文本串 $T$ 或者模式串 $p$ 的时候停止搜索。

3. Brute Force 算法代码实现

def bruteForce(T: str, p: str) -> int:
    n, m = len(T), len(p)
    
    i, j = 0, 0                     # i 表示文本串 T 的当前位置，j 表示模式串 p 的当前位置
    while i < n and j < m:          # i 或 j 其中一个到达尾部时停止搜索
        if T[i] == p[j]:            # 如果相等，则继续进行下一个字符匹配
            i += 1
            j += 1
        else:
            i = i - (j - 1)         # 如果匹配失败则将 i 移动到上次匹配开始位置的下一个位置
            j = 0                   # 匹配失败 j 回退到模式串开始位置

    if j == m:
        return i - j                # 匹配成功，返回匹配的开始位置
    else:
        return -1                   # 匹配失败，返回 -1

4. Brute Force 算法分析

BF 算法非常简单，容易理解，但其效率很低。主要是因为在匹配过程中可能会出现回溯：当遇到一对字符不同时，模式串 $p$ 直接回到开始位置，文本串也回到匹配开始位置的下一个位置，再重新开始比较。

在回溯之后，文本串和模式串中一些部分的比较是没有必要的。由于这种操作策略，导致 BF 算法的效率很低。最坏情况是每一趟比较都在模式串的最后遇到了字符不匹配的情况，每轮比较需要进行 $m$ 次字符对比，总共需要进行 $n - m + 1$ 轮比较，总的比较次数为 $m \times (n - m + 1) $。所以 BF 算法的最坏时间复杂度为 $O (m \times n)$ 。

在最理想的情况下（第一次匹配直接匹配成功），BF 算法的最佳时间复杂度是 $O (m)$ 。

在一般情况下，根据等概率原则，平均搜索次数为 $\frac{(n + m)}{2}$ ，所以 Brute Force 算法的平均时间复杂度为 $O (n + m)$ 。

参考资料

来源：https://github.com/itcharge/LeetCode-Py