01. 记忆化搜索知识

1. 记忆化搜索简介

记忆化搜索（Memoization Search）：是一种通过存储已经遍历过的状态信息，从而避免对同一状态重复遍历的搜索算法。

记忆化搜索是动态规划的一种实现方式。在记忆化搜索中，当算法需要计算某个子问题的结果时，它首先检查是否已经计算过该问题。如果已经计算过，则直接返回已经存储的结果；否则，计算该问题，并将结果存储下来以备将来使用。

举个例子，比如「斐波那契数列」的定义是： $f (0) = 0, f (1) = 1, f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)$ 。如果我们使用递归算法求解第 $n$ 个斐波那契数，则对应的递推过程如下：

从图中可以看出：如果使用普通递归算法，想要计算 $f (5)$ ，需要先计算 $f (3)$ 和 $f (4)$ ，而在计算 $f (4)$ 时还需要计算 $f (3)$ 。这样 $f (3)$ 就进行了多次计算，同理 $f (0)$ 、 $f (1)$ 、 $f (2)$ 都进行了多次计算，从而导致了重复计算问题。

为了避免重复计算，在递归的同时，我们可以使用一个缓存（数组或哈希表）来保存已经求解过的 $f (k)$ 的结果。如上图所示，当递归调用用到 $f (k)$ 时，先查看一下之前是否已经计算过结果，如果已经计算过，则直接从缓存中取值返回，而不用再递推下去，这样就避免了重复计算问题。

使用「记忆化搜索」方法解决斐波那契数列的代码如下：

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        # 使用数组保存已经求解过的 f(k) 的结果
        memo = [0 for _ in range(n + 1)]
        return self.my_fib(n, memo)

    def my_fib(self, n: int, memo: List[int]) -> int:
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return 1
        
        # 已经计算过结果
        if memo[n] != 0:
            return memo[n]
        
        # 没有计算过结果
        memo[n] = self.my_fib(n - 1, memo) + self.my_fib(n - 2, memo)
        return memo[n]

2. 记忆化搜索与递推区别

「记忆化搜索」与「递推」都是动态规划的实现方式，但是两者之间有一些区别。

记忆化搜索：「自顶向下」的解决问题，采用自然的递归方式编写过程，在过程中会保存每个子问题的解（通常保存在一个数组或哈希表中）来避免重复计算。
优点：代码清晰易懂，可以有效的处理一些复杂的状态转移方程。有些状态转移方程是非常复杂的，使用记忆化搜索可以将复杂的状态转移方程拆分成多个子问题，通过递归调用来解决。
缺点：可能会因为递归深度过大而导致栈溢出问题。
递推：「自底向上」的解决问题，采用循环的方式编写过程，在过程中通过保存每个子问题的解（通常保存在一个数组或哈希表中）来避免重复计算。
优点：避免了深度过大问题，不存在栈溢出问题。计算顺序比较明确，易于实现。
缺点：无法处理一些复杂的状态转移方程。有些状态转移方程非常复杂，如果使用递推方法来计算，就会导致代码实现变得非常困难。

根据记忆化搜索和递推的优缺点，我们可以在不同场景下使用这两种方法。

适合使用「记忆化搜索」的场景：

问题的状态转移方程比较复杂，递推关系不是很明确。
问题适合转换为递归形式，并且递归深度不会太深。

适合使用「递推」的场景：

问题的状态转移方程比较简单，递归关系比较明确。
问题不太适合转换为递归形式，或者递归深度过大容易导致栈溢出。

3. 记忆化搜索解题步骤

我们在使用记忆化搜索解决问题的时候，其基本步骤如下：

写出问题的动态规划「状态」和「状态转移方程」。
定义一个缓存（数组或哈希表），用于保存子问题的解。
定义一个递归函数，用于解决问题。在递归函数中，首先检查缓存中是否已经存在需要计算的结果，如果存在则直接返回结果，否则进行计算，并将结果存储到缓存中，再返回结果。
在主函数中，调用递归函数并返回结果。

494. 目标和 - 力扣

4.1.2 题目大意

描述：给定一个整数数组 $n u m s$ 和一个整数 $t a r g e t$ 。数组长度不超过 $20$ 。向数组中每个整数前加 + 或 -。然后串联起来构造成一个表达式。

要求：返回通过上述方法构造的、运算结果等于 $t a r g e t$ 的不同表达式数目。

说明：

$1 \leq n u m s . l e n g t h \leq 20$ 。
$0 \leq n u m s [i] \leq 1000$ 。
$0 \leq s u m (n u m s [i]) \leq 1000$ 。
$- 1000 \leq t a r g e t \leq 1000$ 。

示例：

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

4.1.3 解题思路

思路 1：深度优先搜索（超时）

使用深度优先搜索对每位数字进行 + 或者 -，具体步骤如下：

定义从位置 $0$ 、和为 $0$ 开始，到达数组尾部位置为止，和为 $t a r g e t$ 的方案数为 dfs(0, 0)。
下面从位置 $0$ 、和为 $0$ 开始，以深度优先搜索遍历每个位置。
如果当前位置 $i$ 到达最后一个位置 $s i z e$ ：
1. 如果和 $c u r \underset{―}{} s u m$ 等于目标和 $t a r g e t$ ，则返回方案数 $1$ 。
2. 如果和 $c u r \underset{―}{} s u m$ 不等于目标和 $t a r g e t$ ，则返回方案数 $0$ 。
递归搜索 $i + 1$ 位置，和为 $c u r \underset{―}{} s u m - n u m s [i]$ 的方案数。
递归搜索 $i + 1$ 位置，和为 $c u r \underset{―}{} s u m + n u m s [i]$ 的方案数。
将 4 ~ 5 两个方案数加起来就是当前位置 $i$ 、和为 $c u r \underset{―}{} s u m$ 的方案数，返回该方案数。
最终方案数为 dfs(0, 0)，将其作为答案返回即可。

思路 1：代码

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        size = len(nums)

        def dfs(i, cur_sum):
            if i == size:
                if cur_sum == target:
                    return 1
                else:
                    return 0
            ans = dfs(i + 1, cur_sum - nums[i]) + dfs(i + 1, cur_sum + nums[i])
            return ans
        
        return dfs(0, 0)

思路 1：复杂度分析

时间复杂度： $O (2^{n})$ 。其中 $n$ 为数组 $n u m s$ 的长度。
空间复杂度： $O (n)$ 。递归调用的栈空间深度不超过 $n$ 。

思路 2：记忆化搜索

在思路 1 中我们单独使用深度优先搜索对每位数字进行 + 或者 - 的方法超时了。所以我们考虑使用记忆化搜索的方式，避免进行重复搜索。

这里我们使用哈希表 $t a b l e$ 记录遍历过的位置 $i$ 及所得到的的当前和 $c u r \underset{―}{} s u m$ 下的方案数，来避免重复搜索。具体步骤如下：

定义从位置 $0$ 、和为 $0$ 开始，到达数组尾部位置为止，和为 $t a r g e t$ 的方案数为 dfs(0, 0)。
下面从位置 $0$ 、和为 $0$ 开始，以深度优先搜索遍历每个位置。
如果当前位置 $i$ 遍历完所有位置：
1. 如果和 $c u r \underset{―}{} s u m$ 等于目标和 $t a r g e t$ ，则返回方案数 $1$ 。
2. 如果和 $c u r \underset{―}{} s u m$ 不等于目标和 $t a r g e t$ ，则返回方案数 $0$ 。
如果当前位置 $i$ 、和为 $c u r \underset{―}{} s u m$ 之前记录过（即使用 $t a b l e$ 记录过对应方案数），则返回该方案数。
如果当前位置 $i$ 、和为 $c u r \underset{―}{} s u m$ 之前没有记录过，则：
1. 递归搜索 $i + 1$ 位置，和为 $c u r \underset{―}{} s u m - n u m s [i]$ 的方案数。
2. 递归搜索 $i + 1$ 位置，和为 $c u r \underset{―}{} s u m + n u m s [i]$ 的方案数。
3. 将上述两个方案数加起来就是当前位置 $i$ 、和为 $c u r \underset{―}{} s u m$ 的方案数，将其记录到哈希表 $t a b l e$ 中，并返回该方案数。
最终方案数为 dfs(0, 0)，将其作为答案返回即可。

思路 2：代码

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        size = len(nums)
        table = dict()

        def dfs(i, cur_sum):
            if i == size:
                if cur_sum == target:
                    return 1
                else:
                    return 0
                    
            if (i, cur_sum) in table:
                return table[(i, cur_sum)]
            
            cnt = dfs(i + 1, cur_sum - nums[i]) + dfs(i + 1, cur_sum + nums[i])
            table[(i, cur_sum)] = cnt
            return cnt

        return dfs(0, 0)

思路 2：复杂度分析

时间复杂度： $O (2^{n})$ 。其中 $n$ 为数组 $n u m s$ 的长度。
空间复杂度： $O (n)$ 。递归调用的栈空间深度不超过 $n$ 。

4.2 第 N 个泰波那契数

4.2.1 题目链接

1137. 第 N 个泰波那契数 - 力扣

4.2.2 题目大意

描述：给定一个整数 $n$ 。

要求：返回第 $n$ 个泰波那契数。

说明：

泰波那契数： $T_{0} = 0, T_{1} = 1, T_{2} = 1$ ，且在 $n >= 0$ 的条件下， $T_{n + 3} = T_{n} + T_{n + 1} + T_{n + 2}$ 。
$0 \leq n \leq 37$ 。
答案保证是一个 32 位整数，即 $a n s w e r \leq 2^{31} - 1$ 。

示例：

示例 1：

输入：n = 4
输出：4
解释：
T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
T_4 = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2：

输入：n = 25
输出：1389537

4.2.3 解题思路

思路 1：记忆化搜索

问题的状态定义为：第 $n$ 个泰波那契数。其状态转移方程为： $T_{0} = 0, T_{1} = 1, T_{2} = 1$ ，且在 $n >= 0$ 的条件下， $T_{n + 3} = T_{n} + T_{n + 1} + T_{n + 2}$ 。
定义一个长度为 $n + 1$ 数组 $m e m o$ 用于保存一斤个计算过的泰波那契数。
定义递归函数 my_tribonacci(n, memo)。
1. 当 $n = 0$ 或者 $n = 1$ ，或者 $n = 2$ 时直接返回结果。
2. 当 $n > 2$ 时，首先检查是否计算过 $T (n)$ ，即判断 $m e m o [n]$ 是否等于 $0$ 。
  1. 如果 $m e m o [n] \neq 0$ ，说明已经计算过 $T (n)$ ，直接返回 $m e m o [n]$ 。
  2. 如果 $m e m o [n] = 0$ ，说明没有计算过 $T (n)$ ，则递归调用 my_tribonacci(n - 3, memo)、my_tribonacci(n - 2, memo)、my_tribonacci(n - 1, memo)，并将计算结果存入 $m e m o [n]$ 中，并返回 $m e m o [n]$ 。

思路 1：代码

class Solution:
    def tribonacci(self, n: int) -> int:
        # 使用数组保存已经求解过的 T(k) 的结果
        memo = [0 for _ in range(n + 1)]
        return self.my_tribonacci(n, memo)
    
    def my_tribonacci(self, n: int, memo: List[int]) -> int:
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1 or n == 2:
            return 1
        
        if memo[n] != 0:
            return memo[n]
        memo[n] = self.my_tribonacci(n - 3, memo) + self.my_tribonacci(n - 2, memo) + self.my_tribonacci(n - 1, memo)
        return memo[n]

思路 1：复杂度分析

时间复杂度： $O (n)$ 。
空间复杂度： $O (n)$ 。

参考资料

【文章】记忆化搜索 - OI Wiki

来源：https://github.com/itcharge/LeetCode-Py

01. 记忆化搜索知识

01. 记忆化搜索知识

1. 记忆化搜索简介

2. 记忆化搜索与递推区别

3. 记忆化搜索解题步骤

4. 记忆化搜索的应用

4.1 目标和

4.1.1 题目链接

4.1.2 题目大意

4.1.3 解题思路

思路 1：深度优先搜索（超时）

思路 1：代码

思路 1：复杂度分析

思路 2：记忆化搜索

思路 2：代码

思路 2：复杂度分析

4.2 第 N 个泰波那契数

4.2.1 题目链接

4.2.2 题目大意

4.2.3 解题思路

思路 1：记忆化搜索

思路 1：代码

思路 1：复杂度分析

参考资料